Юрий Моисеевич Каган родился в Москве в семье Моисея Александровича Кагана, выпускника юридического факультета Петербургского университета и бывшего председателя правления Всеукраинского государственного банка, и Рахили Соломоновны Хацревиной, зубного врача; родители переехали в Москву из Витебска.

В годы войны работал на военном заводе и учился в вечерней школе. В 1944 году поступил в МАИ, а в 1946 году перевёлся в МИФИ, который окончил в 1950 году с отличием. Сдав теоретический минимум Ландау, был приглашён им в аспирантуру. В 1950–1956 годах работал на Уральском газодиффузионном комбинате, развивая теорию разделения изотопных газовых смесей; его работу высоко оценил И. К. Кикоин. По распоряжению И. В. Курчатова был переведён в Институт атомной энергии. В 1954 году защитил кандидатскую диссертацию, в 1959 году — докторскую.

С 1956 года и до конца жизни работал в Курчатовском институте, где возглавлял лабораторию и отдел теории конденсированного состояния. С 1964 года — профессор МИФИ, автор курса «Современная теория твёрдого тела». Входил в редакционные коллегии журналов «Физика твёрдого тела», «ЖЭТФ», «Вестник РАН». Его научные труды охватывают кинетическую теорию газов, теорию конденсированного состояния, взаимодействие ядерного излучения с веществом, квантовую кинетику при низких температурах, теорию непереходных металлов, исследование металлического водорода, твердотельные аспекты эффекта Мессбауэра и проблемы бозе-конденсации в ультрахолодных газах.

Особое место занимают работы, выполненные совместно с А. М. Афанасьевым, — предсказание эффекта Кагана-Афанасьева, а также исследования по туннелированию зародышей новой фазы при предельно низких температурах и теория квантовой диффузии. Он оказал значительное влияние на развитие современной физики конденсированного состояния.

Брат учёного — Борис Моисеевич Каган (1918—2013), известный специалист в области автоматики и вычислительной техники, доктор технических наук, профессор, лауреат Сталинской премии (1949).

Умер Юрий Моисеевич Каган 4 июня 2019 года. Урна с прахом захоронена на Донском кладбище.