Борис Моисеевич Каган родился в 1918 году в Витебске в семье юриста Моисея Александровича Кагана, выпускника юридического факультета Петербургского университета и бывшего председателя правления Всеукраинского государственного банка, и зубного врача Рахили Соломоновны Каган. Детство провёл в Харькове, затем семья переехала в Москву. В 1941 году он окончил с отличием Московский энергетический институт и работал в лаборатории А. Г. Иосифьяна. В октябре 1941 года добровольцем ушёл на фронт, участвовал в обороне Москвы, после чего был отозван для выполнения специальных заданий по созданию военной техники, включая бесконтактные сельсины и автоматический наводчик противотанковой пушки, за что получил орден Трудового Красного Знамени.

В 1944–1949 годах руководил созданием системы дистанционного управления пушечными установками самолёта Ту-4, за что стал лауреатом Сталинской премии. В последующие годы работал над повышением точности систем управления баллистических ракет, участвовал в космической программе, занимался разработкой ЭВМ и управляющих вычислительных машин, был одним из основателей ВНИИЭМ, организовал и возглавил несколько кафедр, вычислительный центр и лаборатории. Автор монографий и учебных пособий по вычислительной технике и автоматизации. Последние годы жил в Лос-Анджелесе; урна с прахом захоронена на Донском кладбище в Москве. Его брат — физик-теоретик Юрий Моисеевич Каган, а сестра — писатель Елена Ржевская.