Абрам Григорьевич Кричевский родился в Харькове и с юности был связан с кинематографом: начинал на Киевской кинофабрике ВУФКУ как чернорабочий при операторе, затем стал помощником, ассистентом, а с 1931 года — самостоятельным оператором и режиссёром хроникальных сюжетов. Работал на Украинской студии кинохроники, участвовал в съёмках кинопоезда «Союзкинохроники», а с 1935 года — оператор Московской студии кинохроники, одновременно обучаясь на курсах повышения квалификации при ВГИКе.

В 1941 году был призван в Красную армию и стал фронтовым кинооператором. Снимал на Юго-Западном, Западном, Сталинградском, 1-м и 2-м Украинских фронтах, а также на Черноморском флоте, работая в наиболее тяжёлых условиях — от первых месяцев войны до Сталинградской битвы. Демобилизован в 1945 году, затем работал на разных киностудиях: Украинской студии хроники, Черноморской кинофабрике, Сталинабадской студии. С 1954 года был оператором и режиссёром Центральной студии документальных фильмов, где трудился до 1979 года.

Кричевский снял более 1500 сюжетов для советских киножурналов («Новости дня», «По Советскому Союзу», «Советский воин», «Искусство», «Московская хроника» и др.), писал статьи о своём ремесле. Член Союза кинематографистов СССР с 1957 года, лауреат двух Сталинских премий (1941, 1948), заслуженный деятель искусств РСФСР (1969). Похоронен в колумбарии Донского кладбища.

Жена — Анна Мозговая (эстрадный псевдоним Анна Мостовая), танцовщица.