Александр Зиновьевич Крейн родился в Москве в семье военнослужащего Зиновия Эфраимовича Крейна, директора 2-й московской артиллерийской школы; по отцовской линии происходил из семьи потомственных музыкантов, среди которых были Абрам Гиршевич Крейн — скрипач и собиратель еврейского музыкального фольклора, а также Ефроим, Давид, Григорий и Александр Крейны.

После окончания школы Крейн поступил в ИФЛИ, но с началом войны был призван в армию, окончил школу младших лейтенантов и служил на 1-м Белорусском фронте, где был награждён орденами и медалями за участие в освобождении Варшавы и взятии Берлина. После войны окончил филфак МГУ с отличием и начал работать в системе культурно-просветительных учреждений, откуда в 1953 году перешёл на должность помощника министра культуры РСФСР.

В 1958 году Крейн стал директором создававшегося Государственного музея А. С. Пушкина, сформировал его пушкинскую коллекцию при участии крупнейших московских собирателей, ввёл книгу даров и руководил созданием Мемориальной квартиры Пушкина на Арбате. Он стал автором книг о становлении музея, был признанным специалистом музейного дела и пользовался высоким уважением коллег.

В 1983 году, тяжело заболев, передал руководство музеем Марку Баринову, после чего продолжал работать ведущим научным сотрудником. За вклад в развитие отечественной культуры получил благодарность Президента РФ, а в 2001 году — Государственную премию посмертно. Александр Зиновьевич Крейн умер в 2000 году и был похоронен на Донском кладбище.