Родился в еврейской семье, его отец был юристом, мать — преподавателем музыки. Детство провёл в Москве, где рано проявил интерес к искусству, учился у Василия Сурикова. Юношей участвовал в Гражданской войне на стороне Советской власти, а после войны работал в «Окнах РОСТА» под руководством Маяковского, затем учился во ВХУТЕМАСе.

Вольпин был автором сатирических стихов, пьес и комедий, сотрудничал с известными литераторами, работал в журналах, в начале 1930-х — в «Крокодиле». В 1933 году был арестован по обвинению в антисоветской деятельности и приговорён к 5 годам лагерей, отбывал срок в Ухтпечлаге, был освобождён в 1937 году и впоследствии реабилитирован.

После освобождения возобновил творческую деятельность, став одним из ведущих сценаристов советского кино и мультипликации. В соавторстве с Николаем Эрдманом создал сценарии для популярных фильмов и мультфильмов — в том числе музыкальных комедий «Волга, Волга», «Кубанские казаки», экранизации «Летучей мыши», множества фильмов-сказок (самый известный — «Морозко»). Работал и на «Союзмультфильме», где по его сценариям сняты десятки фильмов, включая «Историю одного преступления» и «Ключ». В годы Великой Отечественной войны служил в Красной Армии, а затем работал для Ансамбля песни и пляски НКВД.

Преподавал на сценарных курсах, был наставником молодых авторов. В послевоенные годы написал множество сценариев, многие из которых вошли в золотой фонд советского кино.

В семье Вольпина было много творческих и научных людей: его сестра Надежда — поэт и переводчик, племянник — математик А. С. Есенин-Вольпин, брат Марк — инженер-электрик, сестра Любовь — скульптор, а сын Михаил Бартенев стал известным драматургом и автором детских книг.