Григорий Самойлович Теннер родился 13 октября 1889 года в Аккермане Бессарабской губернии. В детстве вместе с семьей переехал в Екатеринослав, затем в Минск. Его отец работал браковщиком леса, мать занималась шитьем. Окончил сельскохозяйственную школу в Минске и в 1906 году поступил на скульптурное отделение Одесского художественного училища, где учился у Луиджи Иорини и Иосифа Мормоне.

После окончания училища в 1910 году продолжил образование в Петербургской Академии художеств, однако через год уехал в Германию и до 1914 года обучался в Мюнхенской академии художеств в классе Адольфа фон Гильдебранда. В годы Первой мировой войны служил в действующей армии, был ранен и контужен. В 1918 году после выписки из госпиталя работал учителем в школе грамоты Первой конной армии.

С 1918 года жил и работал в Екатеринославе. Создал ряд скульптурных портретов для Музея Революции и художественного музея, а также выполнил первый в городе памятник В. И. Ленину, открытый в 1925 году. С 1932 года преподавал на керамическом факультете Одесского художественного института.

Среди наиболее известных работ Теннера — проекты памятников Тарасу Шевченко в Екатеринославе и Харькове, композиция «Т. Г. Шевченко», бюсты Д. И. Яворницкого, Ю. Р. Бершадского, А. А. Шовкуненко, Г. И. Петровского, Н. А. Скрипника, Г. В. Плеханова, А. И. Герцена, С. П. Федорова, а также проект памятника Карлу Марксу в Одессе и конная статуя К. Е. Ворошилова.

Во время Великой Отечественной войны находился в эвакуации в Уфе, где скончался 31 октября 1943 года. Похоронен на еврейском участке Сергиевского кладбища в Уфе.

Его сын Отто Григорьевич Теннер был кандидатом технических наук и работал в Одессе на станкостроительном заводе.