Борис Морисович Гинзбург родился в 1920 году в Москве в семье учёных: его отец, Мориц Моисеевич Гинзбург, был основателем кафедры медицинской и биологической физики МГМСУ, а мать, Сарра Ильинична Гинзбург (Шапиро), принадлежала к образованной еврейской семье. В 1937 году он окончил московскую школу № 175 и поступил в Московский гидрометеорологический институт. В 1940 году женился на Лиле Романовне Таубиной.

Служил в Красной Армии с июля 1941 по август 1943 года — на войсках Ленинградского фронта, в штабной батарее 55-й Армии. В 1943 году вступил в ВКП(б). Позже был откомандирован для завершения образования в Московский высший военный гидрометеорологический институт, который окончил в 1944 году, после чего направлен на работу в Центральный институт прогнозов, функционировавший как военное учреждение.

В 1949 году защитил кандидатскую диссертацию, в 1972 году — докторскую по географическим наукам, а в 1985 году стал профессором. С 1985 по 1995 годы был председателем Государственной экзаменационной комиссии географического факультета МГУ. В 2001 году получил звание «Заслуженный деятель науки Российской Федерации».

Вся научная деятельность Бориса Морисовича была связана с Гидрометцентром СССР и России, где он возглавлял лабораторию ледовых прогнозов и фактически стал одним из основоположников научной школы по прогнозированию ледового режима рек и водохранилищ. Под его руководством защищено 12 кандидатских диссертаций. Он активно участвовал в разработке ключевых трудов по гидрологическим прогнозам, включая тома «Руководства по гидрологическим прогнозам», и выполнил ряд важных правительственных заданий: обеспечение зимних навигаций на Днепровских водохранилищах, гидрологическое сопровождение специальных операций ВМФ СССР, перегон глубокосидящих судов по Северо-Двинской системе.

Автор монографии 2005 года и множества научных публикаций, он продолжал работу даже после выхода на пенсию в 2001 году. Борис Морисович был удостоен медалей «За оборону Ленинграда», «За победу над Германией», наград ВДНХ, памятных знаков «Отличник Гидрометслужбы СССР» и «Почётный работник Гидрометслужбы России», а также многочисленных грамот. В 1970 году его имя внесли в Книгу Почёта Гидрометцентра СССР.

Скончался в 2012 году. Урна с прахом захоронена в закрытом колумбарии Нового Донского кладбища.