Феликс Рувимович Гантмахер родился в 1908 году в Одессе в семье ковровщика Рувима-Давида Гершковича Гантмахера и Мирьям Лейбовны. Учился в гимназии, затем в трудовой школе, после чего два года занимался самостоятельно и завершил среднее образование, параллельно изучая немецкий, французский и английский языки. С 1923 по 1925 год прослушал полный курс математического отделения Одесского института народного образования как вольнослушатель.

В 1925—1926 годах занимался в Высшем семинаре по теоретической механике при Одесском политехническом институте и участвовал в математических семинарах под руководством Г. К. Суслова, С. О. Шатуновского и Н. Г. Чеботарёва. Первую научную работу выполнил в 1926 году. В 1927 году был зачислен в аспирантуру по теоретической механике при Одесском институте народного образования и окончил её в 1930 году, после чего преподавал математику в том же институте, затем работал в Одесском физико-химико-математическом институте (будущем Одесском университете) и в Институте водного транспорта.

В декабре 1934 года переехал в Москву, где сначала обучался в докторантуре, а затем работал в Математическом институте АН СССР. В 1942—1946 годах руководил отделом Центрального аэрогидродинамического института и занимался усовершенствованием реактивных установок «Катюша». За эту работу получил орден Красной Звезды (1944) и Сталинскую премию I степени (1948). Его родители и сестра Вера, оставшиеся в Одессе, были депортированы в Доманёвку и расстреляны в 1942 году.

С 1947 года работал в Московском физико-техническом институте, где читал курсы математического анализа, теоретической механики, теории устойчивости и теории матриц; с 1954 года заведовал кафедрой теоретической механики. Его классическая монография «Теория матриц» стала одной из наиболее известных работ в этой области и получила широкое международное распространение. Феликс Рувимович скончался 16 мая 1964 года и был похоронен на Донском кладбище рядом с сыном.